ＧＡＲＣＨ(二)-白红宇

ＧＡＲＣＨ(二)

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发布时间：2019-05-27

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那么,得到了ＧＡＲＣＨ模型表达式,我们又该如何预测方差呢?

迄今,我们对GARCH模型有两个表达式:

原版:

$\sigma_{t|t-1}^2=\omega+\alpha_1r_{t-1}^2+\alpha_2r_{t-2}^2+...+\alpha_qr_{t-q}^2+\beta_1\sigma_{t-1|t-2}^2+\beta_2\sigma_{t-2|t-3}^2+...+\beta_p\sigma_{t-p|t-p-1}^2$

$AR(\infty)$ 版:

$r_t^2=\omega+\sum_{i=1}^{max(p,q)}(\alpha_i+\beta_i)r_{t-i}^2}+\sum_{i=j}^p\beta_j\eta_{t-j}$

由于 $\eta_{t-i}=r_t^2-\sigma_{t|t-1}^2$ ,尽管期望为0,但是方差未知且依赖 $\sigma_{t|t-1}^2$ ,所以不能用后一个版本ＧＡＲＣＨ公式；

那么,使用原版,等式两边同时取期望得,

对任意 $h\geq1$ 有,

$\sigma_{t+h|t}^2=\omega+\sum{i=1}^p\alpha_i\sigma_{t+h-i|t}^2+\sum_{i=1}^p\beta_i{\stackrel{-}{\sigma}}_{t+h-i|t+h-i-1}^2$

其中对于 $\stackrel{-}{\sigma}$ ,有, $\{\stackrel{-}{\sigma}}_{t+h-i|t+h-i-1}^2=\sigma_{t+h-i|t}^2, h-i-1>0$

$\{\stackrel{-}{\sigma}}_{t+h-i|t+h-i-1}^2=\sigma_{t+h-i|t-i-1}^2, h-i-1<=0$

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